TeX資料置き場

ここで私が作成したTeXの草稿を公開しておきます。書きかけですが、誰かの参考になれば幸いです。

学生の時に作ったノートを元に幾何を物理的な動機で勉強し始めた方を念頭に置いた、多様体論のメモです。

最初から頑張って自己完結的(self contained)に書くことや網羅的に書こうと意識し過ぎず、好きに書いていこうと思っています。

そうこうしている内に、私が勉強したことやこれから勉強していくことで物理に関係が深い幾何学の話題が自然とまとまってくれれば理想的です。

幾何(基本的な内容)

幾何学と物理学の関係が深いことは広く知られていることかもしれないが、物理現象は多様体上の粒子の運動と見ることもできる。
多様体上の点粒子の時間変化を多様体上の微分方程式で表すと、これを物理では運動方程式と呼ぶ。
解析力学は数学的にはシンプレクティック多様体上の幾何学で、相対論は数学的にはLorentz多様体上の幾何学である。
最も有名と思われるRiemann多様体は曲面のアナロジーであり、2次元の曲がり具合を記述できるため、地質学・測量学の幾何学となっている。
数学的には3次元以上のRiemann多様体の研究が行われている。
物理法則は運動方程式で表されるが、一般に方程式は座標変換に対する不変性を持っていて、運動方程式が不変となる変換は物理的にも重要な意味がある。
例えば解析力学に対する正準変換や特殊相対論に対するLorentz変換がある。
Maxwell方程式のようなベクトル場の方程式でさえ、多様体上のベクトル場や微分形式を用いて記述できる。寧ろ微分形式を用いた方が整理されていて美しい。スカラー場とはもはや多様体上の関数に過ぎない。
初歩的な多様体論でさえ、随所に物理との関係が出てくるため、物理に興味があって幾何を勉強するモチベーションになればと思う。
物理現象は幾何学という広大な枠組みの上で展開されている最も興味深い具体例の一つであり、幾何学を物理学という例を用いて理解していくことが私の目標である。
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