幾何学

触点とか内点と連続写像の本当にちょっとした関係

位相空間を学び始めるときに、Euclid空間の開集合とか閉集合で具体的なイメージを掴んでから距離空間そして位相空間という風に徐々に一般化していくことは少なく無いと思います。

実際このやり方はすごくいいと思います。というか具体例先に見た方がわかりやすくなるいい例だと思っているので、ある程度時間かけるのも当たり前だと思います。とはいえ、実際そんなに時間かけていられないという事情もあったりで、どれくらい詳しくEuclid空間の例でやるかは個人差があると思います。

特に、内点とか閉包って重要ですけど、位相勉強し始めた初期の頃ってなかなか定義の意味が理解できない人もいるのでは無いでしょうか。

というか現在教えている大学2年の数学科の方が悩んでいて、たまたま今日私の都合で時間が足りなくて説明できなかったところなので序でに記事にしてしまおうという風に考えました。

同じように悩んでいる方の助けとなれば幸いです。

内部は内点全体の集合、閉包は触点全体の集合のことで図を書くとイメージしやすくなります。私の書いた残念な絵を載せておきます。

ちなみに今日時間内に説明出来なかった命題はこれです。

任意の連続写像f \colon X \to Y と部分集合A \subset Xに対してf(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}が成り立つ。

というすごく簡単でなんの変哲も無い命題だし、定義から簡単に導けるという意味では自力で考えるべき問題でもあると思いますが敢えて簡単だからと突き放すことなく丁寧に回答してみました。

簡単とはいえ、閉包の定義がしっかりと理解出来ていなければ、答えられない命題ではあるので定義の大事さについて理解する機会になってくれればと思います。

回答はこちらに置いています。

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